Як ніколи не помилятися. Сила математичного мислення

Уроки математики просты, и в них нет чисел – в мире есть структура. Мы можем надеяться на то, что поймем хотя бы что-то в этом мире, а не будем просто смотреть в изумлении на ту картину, которую рисуют наши органы чувств; наша интуиция сильнее, когда она опирается на прочную формальную основу. И еще один урок: математическая определенность – это одно, а более гибкие убеждения, которыми мы руководствуемся в повседневной жизни, – это другое, и мы должны по возможности регулировать разницу между тем и другим.

Каждый раз, когда вы видите, что больше хорошего – это не всегда лучше; когда вспоминаете, что невероятное часто случается при наличии достаточного количества шансов, и сопротивляетесь соблазнам, которые сулит вам балтиморский брокер; когда принимаете решение не просто на основании самого вероятного будущего, а целой совокупности возможных вариантов будущего; когда вы отбрасываете мысль о том, что убеждения группы должны подчиняться тем же правилам, что и убеждения отдельных людей; или когда вы просто находите комфортную когнитивную зону, в которой можете позволить своей интуиции бурно развиваться, опираясь на сеть путей, проложенных для нее формальной логикой, – во всех этих случаях без всяких формул, уравнений и графиков вы занимаетесь математикой, которая есть продолжение здравого смысла, но только другими средствами. Когда вам это пригодится? Вы уже используете математику с самого момента рождения и, по всей вероятности, никогда не прекратите этого делать. Используйте ее во благо.

..математика – один из элементов этого «неустойчивого равновесия». О математике часто думают как о царстве определенности и абсолютной истины. В каком-то смысле так и есть. Мы имеем дело с необходимыми и непреложными фактами вроде такого: 2 + 3 = 5 – и все такое прочее.

Однако математика – еще и инструмент, с помощью которого мы можем рассуждать о неопределенности, приручая, если вообще не одомашнивая, ее. Такая ситуация сложилась со времен Паскаля, начавшего с того, что помог азартным игрокам понять причуды случая, а закончившего определением шансов в ставках на самую грандиозную неопределенность из всех возможных. Математика предоставляет нам возможность демонстрировать принципиальную неуверенность. Не просто всплескивать руками и говорить «ах», а занимать твердую позицию: «Я в этом не уверен, вот почему я в этом не уверен, и вот примерно в какой степени я в этом не уверен». Или того больше: «Я в этом не уверен, и вы тоже не должны быть уверены».

Математика помогает нам не ошибаться, но она не позволяет не ошибаться во всем. (Извините, плата за книгу возврату не подлежит!) Склонность к ошибкам подобна первородному греху: мы рождены с нею, и она остается с нами всегда, поэтому необходимо постоянно проявлять бдительность, если мы хотим ограничить сферу влияния этого качества на наши действия. Существует реальная опасность, что, усиливая способность анализировать некоторые вопросы математическими методами, мы обретаем общую уверенность в своих убеждениях, которая необоснованно распространяется и на то, в чем мы все же ошибаемся. В итоге мы уподобляемся тем благочестивым людям, у которых со временем возникает столь сильное ощущение собственной добродетели, что они считают благими даже плохие дела, которые совершают.

Открытие магазина или продажа услуг – отнюдь не то же самое, что покупка лотерейных билетов. Ведя свой небольшой бизнес, вы в какой-то степени контролируете собственный успех. Однако у этих двух явлений есть нечто общее: для большинства людей открытие компании – это заведомо проигрышное дело. Не имеет значения, насколько вкусным будет ваш соус для барбекю, или насколько новаторским будет ваше приложение, или насколько жесткими будут ваши методы ведения бизнеса, – у вас гораздо больше шансов потерпеть неудачу, чем добиться успеха. Такова природа предпринимательства, поскольку вы балансируете на грани между очень низкой вероятностью разбогатеть, довольно большой вероятностью зарабатывать на жизнь тяжелым трудом и существенно высокой вероятностью потерять все свои деньги. Если подсчитать цифры, для большой части потенциальных предпринимателей ожидаемая финансовая ценность, подобно ценности лотерейного билета, окажется меньше нуля. Обычные предприниматели (как и обычные покупатели лотерейных билетов) переоценивают свои шансы на успех. Даже бизнес, которому удается уцелеть, обычно приносит своим владельцам меньше денег, чем они получили бы в виде заработной платы в успешной компании. Тем не менее общество в целом выигрывает от существования мира, в котором люди вопреки здравому смыслу начинают свой бизнес. Нам нужны рестораны, нужны парикмахерские, нужны игры для смартфонов. Можно ли назвать предпринимательство «налогом на глупость»? Вас назвали бы сумасшедшим, если вы посмели бы сказали нечто подобное. Отчасти это объясняется тем, что мы относимся к владельцу бизнеса с большим уважением, чем к азартному игроку, поскольку нам трудно отделить свои нравственные установки в отношении той или иной деятельности от суждений, которые мы делаем по поводу рациональности. Однако полезность ведения бизнеса измеряется не только в ожидаемой денежной стоимости. Сам акт осуществления мечты или даже попытки ее осуществить – уже есть часть вознаграждения.

Проверка значимости – это научный инструмент, и, подобно любому другому инструменту, он имеет определенный уровень точности. Если вы сделаете такую проверку более точной (например, увеличив размер изучаемой совокупности), это позволит вам зафиксировать еще более слабое воздействие. В этом не только сила данного метода, но и его опасность. По правде говоря, нулевая гипотеза (если воспринимать ее буквально) почти всегда бывает ложной. Когда вы вводите сильный лекарственный препарат в кровь пациента, трудно поверить, что такое вмешательство оказывает в точности нулевое воздействие на вероятность того, что у этого пациента возникнет рак пищевода, или тромбоз, или неприятный запах изо рта. Каждая часть тела взаимодействует со всеми остальными частями в рамках сложного цикла обратной связи, которая сводится к воздействию и контролю. Все, что вы делаете, либо способствует развитию злокачественной опухоли, либо предотвращает его. Теоретически, если провести эффективное исследование, можно определить влияние каждого фактора. Однако это влияние в большинстве случаев настолько крохотное, что его можно смело исключить из рассмотрения. Тот факт, что мы можем зафиксировать влияние различных факторов, не означает, что все они имеют значение.

Если можно было бы вернуться во времена формирования статистической терминологии и объявить результат, прошедший проверку Фишера с p-значением меньше 0,05, «статистически заметным» или «статистически определимым», вместо того чтобы называть его «статистически значимым»! Эти термины были бы более близкими к сути данного метода, который просто говорит нам о существовании воздействия, но не позволяет определить размер или важность этого воздействия. Но уже слишком поздно. И мы имеем то, что имеем.

Большинство математиков сказали бы, что вошедшие в историю катастрофы и злодеяния в конечном счете образуют так называемое частично упорядоченное множество. Под такой замысловатой формулировкой замаскирована простая мысль: какие-то пары катастроф можно сравнивать по существу, тогда как другие не поддаются сравнению. Дело не в том, что у нас нет точных данных о количестве погибших или что мы не выработали вполне твердой позиции по отношению к проблеме уничтожения людей - от взрыва ли бомбы или от голодной смерти, вызванной войной. Причина заключается в другом: мы не знаем, на каких весах сравнивать эти катастрофы. Обсуждение вопроса, насколько одна война хуже другой, в корне отличается от обсуждения вопроса, является ли одно число больше другого. На второй вопрос всегда есть ответ. На первый - ответа нет. Если вы хотите осознать, что такое гибель двадцати шести человек от бомбы террориста, представьте себе смерть двадцати шести человек от бомбы террориста, но не где-то на другом конце света, а в своем родном городе. Такой подход будет абсолютно безупречен как с математической, так и с моральной точки зрения - и никакой калькулятор вам не понадобится.