Як ніколи не помилятися. Сила математичного мислення

Однако в некоторых случаях вариантов бывает больше двух. Во время президентских выборов 1992 года Билл Клинтон набрал 43% голосов избирателей, опередив Джорджа Буша-старшего, который набрал 38% голосов, и Росса Перо, получившего 19% голосов. Иначе говоря, большинство избирателей (57%) считали, что Билл Клинтон не должен быть президентом. С другой стороны, большинство избирателей (62%) считали, что Джордж Буш не должен быть президентом. А самое крупное большинство избирателей (81%) считали, что Росс Перо не должен быть президентом. Интересы каждого варианта большинства невозможно удовлетворить одновременно, а значит, в одном случае принцип большинства не будет выполнен.

Эта традиция обозначается термином «формализм». Именно об этом говорил Годфри Гарольд Харди, когда с восхищением отметил, что математики XIX столетия начали наконец спрашивать «как определить 1 − 1 + 1 − 1 +…», а не «что есть 1 − 1 + 1 − 1 +…». Это позволяло им избежать «ненужных затруднений», преследовавших математиков более ранних времен. Согласно самой чистой версии этой точки зрения, математика становится своего рода игрой с участием символов и слов. Утверждение можно считать теоремой, если его выводят из аксиом посредством логических операций. Но что к чему отсылают аксиомы и теоремы, что они означают — этим пусть занимается кто-то другой. Что такое Точка, Прямая, лягушка или кумкват? Это может быть все, что ведет себя так, как того требуют аксиомы, а смысл можно выбирать, исходя из текущих потребностей. Сугубо формальная геометрия — это геометрия, которой можно заниматься, даже если вы никогда не видели или не представляли себе точку или прямую; это геометрия, в которой не имеет значения, как на самом деле выглядят точки и прямые в обычном их понимании.

Дело вот в чем: как только становится понятным, что первые четыре аксиомы применимы ко многим разным геометриям, тогда любая теорема, доказанная Евклидом на основании этих аксиом, должна быть истинной не только в евклидовой геометрии, но и во всех остальных геометриях, в которых верны эти аксиомы.
И эти теоремы касаются не просто абстрактных геометрий, созданных только ради того, чтобы доказать какую-то мысль. В постэйнштейновскую эпоху мы понимаем, что неевклидова геометрия — не просто игра. Нравится вам это или нет, но именно так в действительности выглядит пространственно-временной континуум.
Такая история повторяется в области математики снова и снова: мы разрабатываем метод, применимый к решению одной задачи, и, если это хороший метод (то есть метод, содержащий поистине новую идею), в большинстве случаев мы обнаруживаем, что то же самое доказательство работает во многих ситуациях, которые могут отличаться от исходной ситуации в такой же мере, в какой сфера отличается от плоскости, или даже больше.

Если нет такой вещи, как общественное мнение, что же тогда делать выборному должностному лицу? Вот самый простой ответ: в тех случаях, когда у людей нет согласованного мнения, делайте то, что считаете нужным. Как мы уже видели, простая логика требует время от времени делать то, что противоречит мнению большинства. Если вы заурядный политик, здесь вы укажете на тот факт, что результаты опросов содержат внутренние противоречия. Если вы хороший политик, вы скажете: «Меня избрали для того, чтобы руководить, а не отслеживать результаты опросов».