A Mathematician's Apology

Бесполезна ли математика? В определённом смысле, если сказать просто, конечно, небесполезна; например, она доставляет огромное удовольствие весьма большому числу людей.

Небольшое (по объему) эссе английского математика Годфри Харди (1877–1947) на тему красоты математики с автобиографическими элементами. Для Харди  красивой математикой является та, которая не имеет практического применения во внешнем мире (чистая математика).

Невозможно доказать математически, что завтра произойдёт солнечное или лунное затмение потому, что затмения и другие физические явления не входят в качестве составных частей в абстрактный мир математики.

В названии своей работы Харди использует слово "Апология" в смысле формального оправдания или защиты, а не с просьбой о прощении. Эссе написано в 62-х летнем возрасте, когда Харди чувствовал приближение старости и снижение его математического творчества и мастерства.

Ни один математик не должен позволять себе забывать о том, что математика в большей степени, чем любой другой вид искусства или любая другая наука, — занятие для молодых.

В эссе Харди подводит итог своей научной деятельности и апеллирует к идее красоты "чистой математики" (или "настоящей математики"), не обладающей прикладной ценностью. Он пытается объяснить свою философию и вдохновить новые поколения продолжить математические исследования.

Математическое доказательство должно напоминать созвездие с ясными и чёткими очертаниями, а не скопление звёзд с размытыми границами в Млечном Пути.

Харди "оправдывает" стремление к чистой математике аргументом, что её совершенная "бесполезность" в целом лишь означает, что она не может быть использована для причинения вреда.

Ни одно моё открытие не способствовало ни прямо, ни косвенно увеличению или уменьшению добра или зла и не оказало ни малейшего влияния на благоустроенность мира.

Рассказано немного о самом Харди. В предисловии к эссе Ч.П. Сноу, лично знавший математика, замечает:

...он был человеком неортодоксальным, эксцентричным, радикальным и охотно говорил буквально обо всём...

"Апология" оказала значительное влияние на академическую культуру Великобритании, но многие ее положения критиковались. Критика сводится к тому, что любые открытия математика вне зависимости от его воли рано или поздно найдут практическое применение.

Я убеждён в том, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или обозревать её, и что теоремы, которые мы доказываем и великоречиво описываем как наши "творения", по существу представляют собой наши заметки о наблюдениях математической реальности.

Стоит ли заниматься тем, чем он занимается

В основном, ответу на данный вопрос посвящено короткое эссе Годфри Гарольда Харди , который всю жизнь занимался математикой, был профессиональным математиком и никогда не хотел быть кем-либо еще. Для Харди ответ очевиден: да, стоит, как и любой творческой деятельностью, приносящей тебе удовлетворение.

Создаваемые математиком образы, подобно образам художника или поэта, должны обладать красотой; подобно краскам или словам, идеи должны сочетаться гармонически. Красота служит первым критерием: в мире нет места безобразной математике.

В качестве примера красивой математики Харди в своем эссе приводит формулировки и доказательства нескольких простых теорем, доступных для понимания широкому кругу образованных людей.

Профессиональные математики почти никогда не рассуждают о "полезности" математики, данный аспект обычно рассматривается применительно к вопросу о мотивации и необходимости всеобщего обучения математике. Харди иронично замечает:

полезность той или иной науки имеет побочный интерес, относящийся к педагогике и составляющий предмет забот директоров частных школ, которым необходимо давать рекомендации родителям, с пеной у рта требующих "полезного" образования для своих сыновей.

Но так как разговор о "полезности" математики часто возникает у широкой общественности, то Харди решил обсудить данную тему и уделил ей значительное место в своем эссе. Если рассматривать "полезность", как способность приносить человеку и обществу в целом материальные блага, то мнение Харди таково

Тривиальная математика в целом полезна, а настоящая математика - нет.

нет ни одного настоящего математика, жизнь которого можно было бы оправдать на этой основе (на основе "полезности математики"). Если придерживаться этого критерия, то Абель, Риман и Пуанкаре прожили свою жизнь напрасно; их вклад в комфорт человечества ничтожно мал, и мир без них ничего бы не потерял.

Под тривиальной математикой автор подразумевает давно сложившиеся и законченные разделы математики, изучаемые в школах и колледжах. В школах и колледжах преподают математику, которая так или иначе была использована человечеством в научно-техническом прогрессе, который является безусловным благом. Но тривиальная математика это только малая часть математической науки, настоящая математика намного шире.

лишь очень малая толика математики практически полезна, и что эта малая часть математики сравнительно неинтересна

Математика - это, в том числе, разделы науки, которые находятся в развитии и никак сейчас не применяются (что никак не говорит о будущем) человечеством для производства материальных благ. Именно такая "настоящая" математика наиболее интересна для профессионалов, так как подразумевает большое поле для творчества. Настоящая математика (её разделы) "бесполезна" и может быть понятной только нескольким людям на Земле.

Но даже тривиальная математика, как и любая другая наука вообще, не нужна в полном объеме людям в обычной жизни

просто поразительно, какую малую практическую ценность имеет научное знание для обычных людей, как скучны и обыденны те фрагменты научного знания, которые имеют практическую ценность, и как практическая ценность научного знания почти обратна его предполагаемой полезности.

Отсюда понятно, что рассуждения о практической полезности тех или иных школьных знаний в целом смешны и глупы, так как в обычной жизни обычному человеку наука практически не нужна. В школе изучают основы наук, дают представление о научной картине мира и не нужно нагружать это каким-то дополнительным смыслом.

Кроме рассуждений о полезности и бесполезности математики, Харди в эссе говорит о "безвредности" математики, о чистой и прикладной математике. Стиль изложения мыслей у Харди ясный, краткий, хорошо структурированный, понять автора легко, произведение не скучное. Харди изложил свои мысли о математиках и почему они занимаются математикой и в целом слова Харди созвучны с мнением другого известного английского математика Эндрю Уайлса

Работать над любимой проблемой — одно удовольствие, пока получается интересная математика, даже если проблему не удается решить к концу дня. Хорошей математической проблемой по определению считается такая, которая порождает хорошую математику. Важна математика, а не сама проблема.

Это последняя из двух апологий, которые мне попались рядом с книгой Платона о Сократе. Спасибо Платону, если бы не он, я на неё никогда не набрёл бы.

Г.Х.Харди -- один из величайших математиков XX века и один из "чистейших" со времён Пифагора. Этой книгой он подводит итог жизни. Книга распадается на две части: первая примерно четверть -- это обширнейшее предисловие Ч.П.Сноу; остальное -- собственно книга Харди. Обе части интересны по-своему. Сноу рассказывает об атмосфере Кембриджа и о крикете. Харди -- о людях и математике. В частности, как истинный англичанин Харди пишет, что самым большим достижением в его жизни была возможность работать с Литлвудом и Рамануджаном.

В этот раз я не боюсь спойлеров, т.к. не думаю, что на Лайвлибе найдётся много людей, которые станут читать Харди. И это не потому, что я считаю лайвлибовцев какими-то ущербными -- вовсе нет. Здесь собрались люди, намного более умные, чем можно встретить на улицах Москвы или где-нибудь ещё. Просто специфика нашего сайта такова: книга эта не лайвлибовская. Ну, вы, надеюсь, меня поняли :)

Мысль, с которой лайвлибовцы наверняка не согласятся такая: Харди считает, что сравнение математики с поэзией оказывается не в пользу поэзии. Идеи, которые высказывают поэты -- опять-таки по мнению Харди, -- не идут ни в какое сравнение с идеями науки и, в частности, математики. Он пишет так:

"Бушующего моря вод не хватит, чтоб смыть помазанье с чела владыки-короля". Какие строки! Но могут ли выраженные в них идеи быть более банальными и более фальшивыми? Мы видим, что скудность идей вряд ли влияет на красоту словесного узора. С другой стороны, у математика нет другого материала для работы, кроме идей, из-за чего создаваемые им образы с большей вероятностью будут существовать, так как идеи изнашиваются со временем меньше, чем слова.

"Износ слов" (по мнению Харди) означает, что со временем смысл любой поэзии исчезнет, в то время как теорема Пифагора будет существовать вечно, и ничто никогда не сможет изменить или обесценить лежащую за ней идею. Я намеренно повторил 50 раз фразу "по мнению Харди", чтобы кому-нибудь не пришло в голову спорить со мной. Я своего мнения на этот счёт не высказывал, так что спорьте, если сможете, с Г.Х.Харди.

Хорошему математическому построению присущи глубина, красота и эстетика. Не буду пересказывать книгу, хотите -- прочитайте, а нет, так поверьте на слово.

Харди строго отделяет чистую, фундаментальную науку от прикладной и считает, что по-настоящему интересной, красивой и полезной может быть только та наука, которая не имеет практического применения. Заодно чистая наука, по его мнению, и безвредна. Однако его рассуждения о "полезности", на мой взгляд, довольно расплывчаты да и несовременны.

Никому ещё не удалось обнаружить ни одну военную, или имеющую отношение к войне, задачу, которой служила бы теория чисел или теория относительности, и маловероятно, что кому-нибудь удастся обнаружить нечто подобное, на сколько бы лет мы ни заглядывали в будущее.

Будущее, о котором говорит автор, давно наступило. Теория чисел активно используется в криптографии. Без теории относительности системы глобального позиционирования были бы не только неточны, но и накапливали бы ошибку. И всё это вместе используется сегодня для наведения ракет и в прочих -- не обязательно мирных -- областях. О квантовой теории и вовсе нечего и говорить: в этих ракетах отдыхают до времени атомные и водородные бомбы.

И вообще об относительности "пользы" хорошо сказала тётка на рынке:

-- Травки, целебные травки, покупайте травки! -- А скажите, есть ли реальная польза от ваших травок? -- А как же! Конечно есть. Квартиру сыну купила, теперь на машину коплю.

В конце книги Харди приходит к грустному выводу: его математическая жизнь давно закончилась. Математик в 60 лет может быть вполне компетентным специалистом, но ждать от него оригинальных идей не приходится. Недаром, добавил бы я, Абелевская премия присуждается только математикам младше 40 лет. Поэтому Харди имеет уже право сказать:

Ни одно моё открытие не способствовало ни прямо, ни косвенно увеличению или уменьшению добра или зла и не оказало ни малейшего влияния на благоустроенность мира.

Впрочем, это общая участь большинства людей, не только математиков. Мало кто оставляет после себя заметный след. И люди, надеющиеся на то, что их сегодняшняя высокая должность имеет большое значение, заблуждаются. Харди приводит в пример два имени каких-то известных британских политиков 1920-х годов. Не помню их, и надо ли говорить, что я эти имена услышал в первый и последний раз в жизни?

На эту тему у меня есть своя история. В 1980-каком-то году я работал завгруппой в одном из академических институтов, и однажды пришёл начальник отдела и сказал: -- Давай скорее организуй своих, надо срочно привести всё в порядок: товарищ Зайков приезжает! Я спрашиваю: -- А кто такой этот товарищ? -- Как? Ты не знаешь товарища Зайкова??? Мне объяснили, кто это, но сейчас я уже не помню. И уверен, что на Лайвлибе не найдётся ни одного человека, кто назвал бы какое-нибудь достижение этого "товарища" без консультации с интернетом. Я не имею в виду очевидные достижения вроде "родился" и "умер". Реальные его результаты кто-нибудь знает? Уверен, что нет. А ведь был он какой-то, видимо, крупной шишкой, раз к его приезду так тщательно готовились. Кстати, товарищ Зайков так и не посетил нашу лабораторию. Тамбовский волк ему товарищ :)))

Ясно, что у учёного любой специальности есть больше шансов войти в историю, чем у подобного "товарища". А у математика шансов больше, чем у многих других, потому что единожды доказанное в математике никогда не будет опровергнуто. В связи с этим есть хорошая байка про А.Н.Колмогорова, математика мировой величины. А.Н.Колмогоров сначала хотел стать историком и, уже будучи студентом исторического факультета, получил какой-то значимый результат, о котором доложил на заседании кафедры. По окончании доклада зав. кафедрой сказал, что результат действительно хорош, но для его научного признания потребуется ещё несколько независимых доказательств. Тогда Колмогоров перевёлся на Мехмат и на вопросы о причинах такого шага отвечал, что займётся лучше наукой, в которой бывает достаточно одного доказательства.

Что-то я уже совсем забыл о книге Харди... Ладно, это не беда. Книжка так себе. Могла бы быть и поинтереснее.

Лучше давайте выпьем за Г.Х.Харди и А.Н.Колмогорова. А заодно и за Пифагора. У меня как раз остался глоток хорошего вина -- прямая поставка из Грузии. И за Лайвлиб, конечно, тоже :)