A Mathematician's Apology

Бесполезна ли математика? В определённом смысле, если сказать просто, конечно, небесполезна; например, она доставляет огромное удовольствие весьма большому числу людей.

Небольшое (по объему) эссе английского математика Годфри Харди (1877–1947) на тему красоты математики с автобиографическими элементами. Для Харди  красивой математикой является та, которая не имеет практического применения во внешнем мире (чистая математика).

Невозможно доказать математически, что завтра произойдёт солнечное или лунное затмение потому, что затмения и другие физические явления не входят в качестве составных частей в абстрактный мир математики.

В названии своей работы Харди использует слово "Апология" в смысле формального оправдания или защиты, а не с просьбой о прощении. Эссе написано в 62-х летнем возрасте, когда Харди чувствовал приближение старости и снижение его математического творчества и мастерства.

Ни один математик не должен позволять себе забывать о том, что математика в большей степени, чем любой другой вид искусства или любая другая наука, — занятие для молодых.

В эссе Харди подводит итог своей научной деятельности и апеллирует к идее красоты "чистой математики" (или "настоящей математики"), не обладающей прикладной ценностью. Он пытается объяснить свою философию и вдохновить новые поколения продолжить математические исследования.

Математическое доказательство должно напоминать созвездие с ясными и чёткими очертаниями, а не скопление звёзд с размытыми границами в Млечном Пути.

Харди "оправдывает" стремление к чистой математике аргументом, что её совершенная "бесполезность" в целом лишь означает, что она не может быть использована для причинения вреда.

Ни одно моё открытие не способствовало ни прямо, ни косвенно увеличению или уменьшению добра или зла и не оказало ни малейшего влияния на благоустроенность мира.

Рассказано немного о самом Харди. В предисловии к эссе Ч.П. Сноу, лично знавший математика, замечает:

...он был человеком неортодоксальным, эксцентричным, радикальным и охотно говорил буквально обо всём...

"Апология" оказала значительное влияние на академическую культуру Великобритании, но многие ее положения критиковались. Критика сводится к тому, что любые открытия математика вне зависимости от его воли рано или поздно найдут практическое применение.

Я убеждён в том, что математическая реальность лежит вне нас, что наша функция состоит в том, чтобы открывать или обозревать её, и что теоремы, которые мы доказываем и великоречиво описываем как наши "творения", по существу представляют собой наши заметки о наблюдениях математической реальности.

В основном, ответу на данный вопрос посвящено короткое эссе Годфри Гарольда Харди , который всю жизнь занимался математикой, был профессиональным математиком и никогда не хотел быть кем-либо еще. Для Харди ответ очевиден: да, стоит, как и любой творческой деятельностью, приносящей тебе удовлетворение.

В качестве примера красивой математики Харди в своем эссе приводит формулировки и доказательства нескольких простых теорем, доступных для понимания широкому кругу образованных людей.

Профессиональные математики почти никогда не рассуждают о "полезности" математики, данный аспект обычно рассматривается применительно к вопросу о мотивации и необходимости всеобщего обучения математике. Харди иронично замечает:

Но так как разговор о "полезности" математики часто возникает у широкой общественности, то Харди решил обсудить данную тему и уделил ей значительное место в своем эссе. Если рассматривать "полезность", как способность приносить человеку и обществу в целом материальные блага, то мнение Харди таково

Под тривиальной математикой автор подразумевает давно сложившиеся и законченные разделы математики, изучаемые в школах и колледжах. В школах и колледжах преподают математику, которая так или иначе была использована человечеством в научно-техническом прогрессе, который является безусловным благом. Но тривиальная математика это только малая часть математической науки, настоящая математика намного шире.

Математика - это, в том числе, разделы науки, которые находятся в развитии и никак сейчас не применяются (что никак не говорит о будущем) человечеством для производства материальных благ. Именно такая "настоящая" математика наиболее интересна для профессионалов, так как подразумевает большое поле для творчества. Настоящая математика (её разделы) "бесполезна" и может быть понятной только нескольким людям на Земле.

Но даже тривиальная математика, как и любая другая наука вообще, не нужна в полном объеме людям в обычной жизни

Отсюда понятно, что рассуждения о практической полезности тех или иных школьных знаний в целом смешны и глупы, так как в обычной жизни обычному человеку наука практически не нужна. В школе изучают основы наук, дают представление о научной картине мира и не нужно нагружать это каким-то дополнительным смыслом.

Кроме рассуждений о полезности и бесполезности математики, Харди в эссе говорит о "безвредности" математики, о чистой и прикладной математике. Стиль изложения мыслей у Харди ясный, краткий, хорошо структурированный, понять автора легко, произведение не скучное. Харди изложил свои мысли о математиках и почему они занимаются математикой и в целом слова Харди созвучны с мнением другого известного английского математика Эндрю Уайлса

Это последняя из двух апологий, которые мне попались рядом с книгой Платона о Сократе. Спасибо Платону, если бы не он, я на неё никогда не набрёл бы.

Г.Х.Харди -- один из величайших математиков XX века и один из "чистейших" со времён Пифагора. Этой книгой он подводит итог жизни.
Книга распадается на две части: первая примерно четверть -- это обширнейшее предисловие Ч.П.Сноу; остальное -- собственно книга Харди. Обе части интересны по-своему. Сноу рассказывает об атмосфере Кембриджа и о крикете. Харди -- о людях и математике.
В частности, как истинный англичанин Харди пишет, что самым большим достижением в его жизни была возможность работать с Литлвудом и Рамануджаном.

В этот раз я не боюсь спойлеров, т.к. не думаю, что на Лайвлибе найдётся много людей, которые станут читать Харди. И это не потому, что я считаю лайвлибовцев какими-то ущербными -- вовсе нет. Здесь собрались люди, намного более умные, чем можно встретить на улицах Москвы или где-нибудь ещё. Просто специфика нашего сайта такова: книга эта не лайвлибовская.
Ну, вы, надеюсь, меня поняли :)

Мысль, с которой лайвлибовцы наверняка не согласятся такая: Харди считает, что сравнение математики с поэзией оказывается не в пользу поэзии. Идеи, которые высказывают поэты -- опять-таки по мнению Харди, -- не идут ни в какое сравнение с идеями науки и, в частности, математики. Он пишет так:

"Износ слов" (по мнению Харди) означает, что со временем смысл любой поэзии исчезнет, в то время как теорема Пифагора будет существовать вечно, и ничто никогда не сможет изменить или обесценить лежащую за ней идею.
Я намеренно повторил 50 раз фразу "по мнению Харди", чтобы кому-нибудь не пришло в голову спорить со мной. Я своего мнения на этот счёт не высказывал, так что спорьте, если сможете, с Г.Х.Харди.

Хорошему математическому построению присущи глубина, красота и эстетика. Не буду пересказывать книгу, хотите -- прочитайте, а нет, так поверьте на слово.

Харди строго отделяет чистую, фундаментальную науку от прикладной и считает, что по-настоящему интересной, красивой и полезной может быть только та наука, которая не имеет практического применения. Заодно чистая наука, по его мнению, и безвредна. Однако его рассуждения о "полезности", на мой взгляд, довольно расплывчаты да и несовременны.

Будущее, о котором говорит автор, давно наступило. Теория чисел активно используется в криптографии.
Без теории относительности системы глобального позиционирования были бы не только неточны, но и накапливали бы ошибку.
И всё это вместе используется сегодня для наведения ракет и в прочих -- не обязательно мирных -- областях. О квантовой теории и вовсе нечего и говорить: в этих ракетах отдыхают до времени атомные и водородные бомбы.

И вообще об относительности "пользы" хорошо сказала тётка на рынке:

В конце книги Харди приходит к грустному выводу: его математическая жизнь давно закончилась. Математик в 60 лет может быть вполне компетентным специалистом, но ждать от него оригинальных идей не приходится. Недаром, добавил бы я, Абелевская премия присуждается только математикам младше 40 лет.
Поэтому Харди имеет уже право сказать:

Впрочем, это общая участь большинства людей, не только математиков. Мало кто оставляет после себя заметный след. И люди, надеющиеся на то, что их сегодняшняя высокая должность имеет большое значение, заблуждаются. Харди приводит в пример два имени каких-то известных британских политиков 1920-х годов. Не помню их, и надо ли говорить, что я эти имена услышал в первый и последний раз в жизни?

На эту тему у меня есть своя история.
В 1980-каком-то году я работал завгруппой в одном из академических институтов, и однажды пришёл начальник отдела и сказал:
-- Давай скорее организуй своих, надо срочно привести всё в порядок: товарищ Зайков приезжает!
Я спрашиваю:
-- А кто такой этот товарищ?
-- Как? Ты не знаешь товарища Зайкова???
Мне объяснили, кто это, но сейчас я уже не помню. И уверен, что на Лайвлибе не найдётся ни одного человека, кто назвал бы какое-нибудь достижение этого "товарища" без консультации с интернетом. Я не имею в виду очевидные достижения вроде "родился" и "умер". Реальные его результаты кто-нибудь знает? Уверен, что нет. А ведь был он какой-то, видимо, крупной шишкой, раз к его приезду так тщательно готовились.
Кстати, товарищ Зайков так и не посетил нашу лабораторию. Тамбовский волк ему товарищ :)))

Ясно, что у учёного любой специальности есть больше шансов войти в историю, чем у подобного "товарища".
А у математика шансов больше, чем у многих других, потому что единожды доказанное в математике никогда не будет опровергнуто. В связи с этим есть хорошая байка про А.Н.Колмогорова, математика мировой величины.
А.Н.Колмогоров сначала хотел стать историком и, уже будучи студентом исторического факультета, получил какой-то значимый результат, о котором доложил на заседании кафедры. По окончании доклада зав. кафедрой сказал, что результат действительно хорош, но для его научного признания потребуется ещё несколько независимых доказательств. Тогда Колмогоров перевёлся на Мехмат и на вопросы о причинах такого шага отвечал, что займётся лучше наукой, в которой бывает достаточно одного доказательства.

Что-то я уже совсем забыл о книге Харди...
Ладно, это не беда. Книжка так себе. Могла бы быть и поинтереснее.

Лучше давайте выпьем за Г.Х.Харди и А.Н.Колмогорова. А заодно и за Пифагора. У меня как раз остался глоток хорошего вина -- прямая поставка из Грузии.
И за Лайвлиб, конечно, тоже :)

Очень интересная книга о жизни математика. Большое количество людей, говоря о математике, в действительности слабо представляют, что это такое. Чаще всего обычные люди (нематематики) имеют в виду "тривиальную" математику, если угодно, бытовую. Это та математика, о которой говорят в школе и которая, грубо говоря, позволяет проверить правильность чека в магазине. Что же есть тогда настоящая математика? Именно в прямом значении этого слова. Книга предоставляет ответ.

Я люблю узнавать о жизни математиков. Безусловно, это очень интересные люди с умными головами и изрядной долей эксцентричности в поведении. Поэтому я снова получила большое удовлетворение, познакомившись частично с жизнью Годфри Харди. В целом о математике (науке) речи особо в книге не идет: вместо этого первая часть повествует кратко биографию Годфри, а вторая представляет его апологию, которая тождественна малым "соплям", ибо на тот момент возраст Харди уже не позволял ему математически творчески мыслить. Харди оправдывался и доказывал свою науку. Отчасти, из-за содержания философии, вторая часть показалась мне унылой, но по сути она такая и есть - это грусть Харди, сожаление, что все закончилось. Но с другой стороны, в ней есть хорошие фразы и интересные факты, которые каждый найдет и извлечет для себя сам, лично. Я свои "чудеса" нашел и забрал.

Предисловие Ч.П. Сноу дойстойно отдельных похвал. Оно очень удачно, ибо позволяет нарисовать личность Харди и его деятельность как от лица его самого, так и со стороны, от лица Сноу. Картинка рисуется более полно и с разных точек зрения. Это, безусловно, плюс. В завершение своего кратенького отчета замечу, что книга читается на одном дыхании и проглатывается легко. Я потратил ~1 ч на ее прочтение, и это был один из теплых и дорогих временных отрезков моему сердцу. Сноу и Харди заставили какие-то ниточки внутри меня шевелиться, завели шестеренки в моей машинной душе и я получил новую отправную точку творить, а еще массу ссылок на стороннюю литературу.

Любителям математики и хороших биографий посвещаются маленькие 115 страниц.

Непосредственно апология математики сводится к более-менее ловкому обсуждению риторических вопросов (зондируется серьезность, важность, глубина "чистой" математики; ни один из критериев, естественно, не может быть формально определен). Помимо пары-тройки приведенных примеров математических красот (их, кстати, хотелось бы побольше), интерес представляет присутствующая в тексте в виде неявной функции апология английского академического чудачества. Я не знаю, насколько близки были к идеальному образу Касталии немецкие университетские оазисы, но эдвардианский Оксбридж видится чудесной моделью подобного элизиума знаний.

эксцентричный английский джентльмен, прекрасная в своей лаконичности книга

решительное обсуждение вопроса о полезности математики - конечно её нет!

"Абсолютная истина состоит в том, что большинство людей ничего не может делать хорошо. Коль скоро это так, то не имеет особого значения, какую карьеру они выбирают, и говорить об этом больше нечего"

"Я никогда не делал ничего «полезного». Ни одно моё открытие не способствовало ни прямо, ни косвенно увеличению или уменьшению добра или зла и не оказало ни малейшего влияния на благоустроенность мира. "

Крутая книга!
Предисловие показывает Харди со стороны других, как яркого, резкого, но при этом словно ограниченного (в чувствовании и в удовольствиях от жизни) человека.
А сама апология мотивирует делать дело. И слог крутой и смысл тоже близок - четко про выбор профессии; про амбиции и про то, что это нужно и классно; про то, что решение прикладных задач часто уныло; про то, что математика это деятельность и когда творческих сил на нее нет - надо кончать.
В конце книги - краткая автобиография Харди и она тоже радует отсутствием романтизации, все по делу. Например, он признает что Архимед остался в памяти людей не человеком (с характером, привычками, внешностью и т.д.), а именем. И что самого Харди такая роль устраивает.

То, что большинством людей подразумевается под словом "математика" – это то, что профессор Харди вполне справедливо называет тривиальной математикой, или школьной математикой. А то, что он называет "настоящей" математикой – это отдельная история, и об этой настоящей математике большинство людей не знает совершенно ничего, включая и ее существование. А она, тем временем, представляет из себя нечто бескрайнее, на стыке науки и искусства, это та область, в которой человеческий гений может расширять горизонты без всяких ограничений, вне зависимости от того, насколько эти открытия будут соответствовать "реальному" миру.
В целом, книга очень меланхолична и содержит интересные философские идеи о месте чистой настоящей математики в жизни человека и человечества.

An inspirational essay, with some appealing depth of thought. Although inaccurate in detail, carries the message - it's supposed - fairly enough.

Particularily, inaccurate in the discussion of 'harmlessness' and 'usefulness' (even in terms of 'real' mathematics). Given that the main point (as I see it, 'Against the Fall of Night') doesn't suffer much from them and a certain amount of existentialism available to apply (if needs be) - it's rather a very unpleasant misfit, than nullifying statement.
Another crucial omission (or I'm naive) is the absence of the 'choice of pure desire and passion' (as opposed to existentialism and permanence idea of the author himself).

Summarizing, a reader may find either reassurance or appreciation, discovering the excitement of the 'true' nature of 'real' mathematics. And even, still more unlikely, an apology (or purpose) of his own...