Структура реальности

Время не течет. Другие времена – это всего лишь специальные случаи других вселенных.

... рассуждение о причинах и следствиях неизбежно касается и вариантов причин и следствий.

Мы привыкли видоизменять свой здравый смысл, чтобы приспособиться к научным открытиям. Здравый смысл часто оказывается ложным, даже крайне ложным. Но для здравого смысла необычно быть бессмысленным в том, что касается повседневного опыта. Тем не менее именно это и происходит в данном случае.

Математическая интуиция (традиционное определение) – высший самоочевидный источник обоснования математического рассуждения.

Математические сущности являются частью структуры реальности, поскольку они сложны и автономны. Создаваемая ими реальность некоторым образом похожа на царство абстракций, которое рисуют Платон и Пенроуз: будучи по определению неощутимыми, они объективно существуют и имеют свойства, независимые от законов физики.

... фундаментальные открытия всегда трудно представить себе до того, как они произойдут.

Бритва Оккама (в моей формулировке) – не усложняйте объяснения, если в этом нет необходимости, потому что излишние усложнения сами останутся необъясненными.

Предсказание или любое допущение, которое невозможно обосновать, может тем не менее быть истинным, но объяснение, которое невозможно защитить, – это не объяснение. Отказ от объяснений «всего лишь» на том основании, что они не подтверждаются неким абсолютным объяснением, неизбежно подталкивает к тщетным поискам абсолютного источника обоснований. Но такого источника не существует.

...солипсизм невозможно защитить буквально, потому что, соглашаясь с подобной защитой, человек неявно противоречит ей.

...хороший способ защитить науку от всевозможной критики и понять истинную связь между разумом и реальностью – это рассмотреть аргументы против солипсизма.

Бихевиоризм – это доктрина о том, что не имеет смысла объяснять поведение людей на основе внутренних психических процессов. Для бихевиористов единственной приемлемой психологией является изучение наблюдаемых реакций человека на внешние раздражители.

...одни лишь наблюдения никогда не позволили бы исключить теорию о том, что Земля заключена в гигантский планетарий, представляющий нам имитацию гелиоцентрической Солнечной системы, и что вне этого планетария находится все, что вашей душе угодно, или вообще ничего.

Десятая проблема Гильберта – «раз и навсегда установить надежность математических методов», найдя набор правил вывода, достаточный для всех корректных доказательств, и затем доказать непротиворечивость этих правил в соответствии с их собственными стандартами.

Теорема Гёделя о неполноте – доказательство того, что десятая проблема Гильберта не имеет решения. Для любого набора правил вывода существуют корректные доказательства, которые эти правила не определяют как таковые.

Необходимая истина – это всего лишь предмет математики, а не награда, которую мы получаем за занятия математикой. Математическая уверенность не является и не может являться целью математики. Ее целью является даже не математическая истина, надежная или какая-нибудь еще. Ее целью является и должно являться математическое объяснение.

...прогресс в математике всегда будет зависеть от творческого подхода. Изобретение новых типов доказательств всегда будет возможным и необходимым делом для математиков.

Благодаря Гёделю мы знаем, что никогда не будет неизменного метода определения истинности математического утверждения, как не существует и неизменного способа определения истинности научной теории.

Гёдель доказал, что если какой-то набор правил вывода в некоторой (достаточно обширной) области математики является непротиворечивым (неважно, доказуемо это или нет), то в пределах этой области должны существовать корректные методы доказательства, корректность которых нельзя установить, опираясь на данные правила. Это называется теоремой Гёделя о неполноте.

Как известно, никто не доказал, что система мнимых чисел непротиворечива. Но ведь никто не доказал и того, что обычная арифметика натуральных чисел является непротиворечивой!

С традиционной точки зрения ключевое различие между доказательством и экспериментом состоит в том, что доказательство никак не ссылается на физический мир.