Как не ошибаться. Сила математического мышления

У людей непосвященных порой складывается впечатление, что математика сводится к применению все более и более мощных инструментов для все более глубокого погружения в неизведанное, подобно тому как строители тоннелей пробиваются сквозь скалу с помощью все более мощных взрывчатых веществ. Но это только один из возможных способов. Александр Гротендик, который в 1960–1970-х годах переделал большую часть чистой математики по своему разумению, смотрел на это иначе:

Неизведанное, которое предстояло познать, казалось мне участком земли или твердого камня, сопротивляющегося вторжению… море безразлично наступает в тишине, ничего как будто не происходит, ничего не двигается, вода так далеко, что ее едва слышно… и все же в конце концов она окружает сопротивляющуюся субстанцию.

Неизведанное – это камень в море, который препятствует нашему развитию. Мы можем попытаться воткнуть динамит в щели, взорвать его и повторять все это до тех пор, пока камень не развалится на части, как сделал Бюффон со своими сложными вычислениями. Или можно придерживаться более созерцательного подхода, позволяющего вашему уровню понимания постепенно и спокойно повышаться, пока через какое-то время то, что раньше казалось препятствием, не исчезнет под спокойной водой.

Математика в современном ее виде представляет собой тонкое взаимодействие между монашеским созерцанием и взрывами динамита.

Принцип «доказывать днем и опровергать ночью» применим не только к математике. На мой взгляд, держать под напряжением все свои убеждения, социальные, политические, научные и философские, – это хорошая привычка. Верьте в то, во что вы верите, днем, но по ночам ищите доводы против самых ценных для вас предположений. Не обманывайте себя! Насколько это возможно, размышляйте так, будто вы верите в то, во что не верите. А если вам не удастся разубедить себя в существующих убеждениях, вы узнаете намного больше о том, почему вы верите в то, во что верите. Вы немного приблизитесь к доказательству.

Каждый раз, когда вы видите, что больше хорошего — это не всегда лучше; когда вспоминаете, что невероятное часто случается при наличии достаточного количества шансов, и сопротивляетесь соблазнам, которые сулит вам балтиморский брокер; когда принимаете решение не просто на основании самого вероятного будущего, а целой совокупности возможных вариантов будущего; когда вы отбрасываете мысль о том, что убеждения группы должны подчиняться тем же правилам, что и убеждения отдельных людей; или когда вы просто находите комфортную когнитивную зону, в которой можете позволить своей интуиции бурно развиваться, опираясь на сеть путей, проложенных для нее формальной логикой, — во всех этих случаях без всяких формул, уравнений и графиков вы занимаетесь математикой, которая есть продолжение здравого смысла, но только другими средствами. Когда вам это пригодится? Вы уже используете математику с самого момента рождения и, по всей вероятности, никогда не прекратите этого делать. Используйте ее во благо.

Уроки математики просты, и в них нет чисел — в мире есть структура. Мы можем надеяться на то, что поймем хотя бы что-то в этом мире, а не будем просто смотреть в изумлении на ту картину, которую рисуют наши органы чувств; наша интуиция сильнее, когда она опирается на прочную формальную основу. И еще один урок: математическая определенность — это одно, а более гибкие убеждения, которыми мы руководствуемся в повседневной жизни, — это другое, и мы должны по возможности регулировать разницу между тем и другим.

Каждый математик создает что-то новое, порой большое, порой малое. Все математические труды — это продукты творчества. И сущности, которые мы можем сотворить с помощью математики, не подвержены никаким физическим ограничениям: они могут быть конечными и бесконечными; они могут быть воплощены в наблюдаемой Вселенной или нет. Сторонние зрители порой считают, что математики — это путешественники в психоделическом мире опасного умственного огня, взирающие на картины, которые свели бы обычного человека с ума. Говорят, и сами математики порой теряют разум.
Но, как мы с вами видели, все не так. Мы не безумцы; мы не пришельцы, мы не шаманы и не мистики.
Что действительно правда — это чувство математического осмысления (когда вдруг с абсолютной уверенностью, докопавшись до самой сути, понимаешь, что происходит). Особое ощущение, которое трудно обрести в других областях науки и жизни. У вас появляется осознание, что вы добрались до самого сердца Вселенной и держите руку на ее пульсе. Подобное состояние трудно описать людям, которые его никогда не испытывали.

Принцип «доказывать днем и опровергать ночью» применим не только к математике. На мой взгляд, держать под напряжением все свои убеждения, социальные, политические, научные и философские, — это хорошая привычка. Верьте в то, во что вы верите, днем, но по ночам ищите доводы против самых ценных для вас предположений. Не обманывайте себя! Насколько это возможно, размышляйте так, будто вы верите в то, во что не верите. А если вам не удастся разубедить себя в существующих убеждениях, вы узнаете намного больше о том, почему вы верите в то, во что верите. Вы немного приблизитесь к доказательству.