Величайшие математические задачи

Иногда проходит много лет, прежде чем становится ясен уровень сложности задачи: кажется, что должен существовать какой-то хитрый, но несложный трюк, при помощи которого ее можно решить, и что решение не займет и полстранички.

Математическая интуиция - это способность разума чувствовать форму и структуру и распознавать закономерности, которые мы не в состоянии уловить на сознательном уровне. Интуиция не обладает кристально чистотой осознанной логики, зато способна привлечь наше внимание к вещам, которые мы никогда не стали бы рассматривать сознательно.

Доказательство - это рассказ, который выслушивают и разбирают по косточкам люди, посвятившие большую часть жизни искусству прочтения таких историй и поиска в них ошибок и противоречий. Основная цель этих людей - доказать, что автор доказательства не прав. Эти люди обладают поразительной способностью замечать слабые места и без устали долбить в них, пока вся конструкция не рухнет, подняв облако пыли.

Британский математик Кристофер Зиман однажды заметил, что любая теорема - это своего рода интеллектуальная точка покоя, где можно сделать остановку, перевести дыхание и ощутить некоторую определенность.

Доказательства ищут люди, и математические исследования - отнюдь не воплощение пошаговой логики.

Если верить старой шутке, то о продвинутости физической теории можно судить по тому, с каким количеством взаимодействующих тел она не в состоянии разобраться. Закон всемирного тяготения Ньютона сталкивается с проблемами уже на трех телах. Общая теория относительности с трудом справляется с двумя. Квантовая теория и для одного тела непомерно сложна, а квантовая теория поля попадает в беду даже там, где тел нет вообще - в вакууме.

По существу, математика исследует логический лабиринт, перекрестками в котором служат утверждения, а проходами - достоверные умозаключения. Доказательство - путь через лабиринт, который начинает с аксиом.

Обоснованное предположение может сделать кто угодно, трудно лишь доказать его истинность. Или ложность.

Великие задачи несут в себе громадный творческий потенциал: они помогают создавать новую математику.

Чем четче вырисовывается ландшафт, тем проще разглядеть на нем непокоренные еще вершины или неисследованные местности, которые часто воздвигают перед путником неожиданные и нежеланные препятствия.