Я различаю эти два значения - математика в объективном и субъективном смысле. Очевидно, никакая вполне определённая система правильных аксиом не может объять всю объективную математику, так как утверждение, которое устанавливает непротиворечивость системы истинно, но не доказуемо в системе. Однако что касается субъективной математики, никоим образом не возбраняется, что должно существовать конечное правило для произведения всех её очевидных аксиом. Однако если такое правило существует, мы с нашим человеческим пониманием не смогли бы знать его как таковое, то есть мы никогда бы не узнали с математической определённостью, что все производимые при этом утверждения правильны; другими словами, мы могли бы воспринимать как истинное только одно утверждение за другим, для любого конечного их числа. Однако утверждение, что все они истинны, могло быть известно самое большее с эмпирической определённостью, на основании достаточного числа примеров или же через другие индуктивные выводы. Если бы это было так, это означало бы, что человеческий ум (в области чистой математики) эквивалентен конечной машине, что, однако, не позволяет понять полностью её функционирование. Эта неспособность человека понять себя ошибочно покажется ему безграничностью или неисчерпаемостью ума. Но, пожалуйста, заметьте, что если бы это было так, это никоим образом не умаляет незавершаемости объективной математики. Наоборот, это делает её ещё более поразительной. Потому что если бы человеческий ум был эквивалентен конечной машине, тогда объективная математика была бы не только незавершаема в том смысле, что не содержится в любой вполне определённой аксиоматической системе; больше того, должны существовать абсолютно неразрешимые диофантовы проблемы описанного выше типа, где эпитет "абсолютно" означает, что они будут неразрешимыми не просто в какой-то аксиоматической, но и для любого математического доказательства, которое может постигнуть человек. Так что неизбежным становится следующее дизъюнктивное заключение: Либо математика незавершаема в том смысле, что её очевидные аксиомы не могут быть охвачены конечным правилом, то есть, человеческий ум (даже в области чистой математики) бесконечно превосходит возможности любой конечной машины, или же существуют абсолютно неразрешимые диофантовы проблемы обозначенного выше типа (не исключён и третий случай, когда истинны оба члена дизъюнкции, так что есть, строго говоря, три альтернативы). Именно этот математически установленный факт, с моей точки зрения, представляет огромный философский интерес. Конечно, в этой связи важно то, что по крайней мере этот факт полностью независим от конкретных точек зрения в основаниях математики.
Ваша оценка
1 понравилось
