Том 4. Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии

Считается, что люди делятся на гуманитариев и технарей. Обычно это деление происходит ещё в детстве, когда ребенок начинает учиться считать и писать (сужу по своим детям). В школе это суждение только укрепляется: написал хорошо сочинение — гуманитарий, решил контрольную по математике на пять — технарь.

Так как в школьные годы я терпеть не могла писать сочинения (что не скажешь сейчас по количеству рецензий))), а задачки решала  легко, вывод напрашивался сам собой. Математический класс, механико-математический факультет университета, преподавание математических и компьютерных дисциплин в колледже...

Любой, кому удалось проникнуть в мир математики, знает, что она крайне занимательна и очень интересна...

Прекрасно помню, как я делала "домашку" по математике со своей старшей - она, ну никак, не хотела проникать в занимательный и интересный математический мир.)...

А спустя пару-тройку лет, скидывает мне мем:

https://u.livelib.ru/reader/evfenen/r/oqbm0iy9/o-r.jpg">

И вопрошает: ну что? Тебе это пригодилось?

Пригодилось, дочь! Кто тебе курсовые по "вышке" делает?)..

Ой, только не подумайте, что я встаю с утра и сразу начинаю решать математические задачи...

К чему это я? Наверное, я не среднестатистический читатель этого сборника. Знаний по математике у меня немного больше, чем у простого обывателя.

Девять научно-популярных статей или правильнее сказать очерков. Кому они будет интересны? Наверное, кто в свое время уже проник в мир математики, или кто не оставляет попыток все таки в него проникнуть. Нужно ли для этого иметь специальное техническое мышление? Не думаю.

Первый очерк о теории игр и игровых стратегиях - Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр. Деулофеу Хорди.

Понятие головоломок и игр. История развития игр, классификация в зависимости от присутствия в них случайного события.

Случайные события могут фигурировать как в начальных условиях игры, так и при совершении ходов. Например, в большинстве карточных игр карты раздаются игрокам случайным образом. Так же происходит и в домино. Напротив, начальное положение шахматных фигур строго определено и неизменно, как и в нардах, реверси или испанской игре парчис...

Ремарка -  в шахматы играть не люблю.)

Выигрышные стратегии, рассказ о двоичной системе счисления. Про азартные игры, случайности и теорию вероятностей. Ученые, которые внесли вклад в развитие этого направления математики. Примеры игр и стратегий. Если возникнет вопрос: поможет ли  это книга выиграть в казино? Отвечу сразу: конечно же нет.)

Занимательно, но есть математические понятия и объяснения, не то что они сложные, просто я думаю многим будет лень в них разбираться.

Понравилась одна логическая задача. Минуты три потратила на решение.)

Даны два сосуда. Один вмещает 3 пинты, второй — 5. Как отмерить ровно 4 пинты с помощью переливаний? Ни на одном из сосудов нет никаких отметок, и все, что мы можем определить, — это заполнен сосуд полностью или нет.

Второй очерк о Великой Теореме Ферма -  Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике. Виолант-и-Хольц Альберт

Её пытались доказать 380 лет. Она очень простая на вид. Да и сам Ферма уверял, что знает, как ее доказать, одна беда — места видите ли не хватает записать.

Знаменитая теорема не канула в Лету вместе с другими открытиями Ферма лишь только потому, что старший сын эксцентричного ученого-любителя после смерти отца взялся опубликовать все его отрывочные заметки.

Простота формулировки и замечание, оставленное Ферма по поводу доказательства теоремы, дразнили профессионалов и любителей математики на протяжении веков. Ведь Ферма располагал теми же знаниями, что и его современники, значит, для доказательства теоремы требовалось лишь сделать какой-то необычный ход.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал "Квант", публикуя статью о теореме, сопроводил её следующей припиской: "Редакция "Кванта" со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут".

В очерке также рассказывается о системах счисления, теореме Пифагора и Эндрю Уайлсе, чье имя вписано в историю математики, как человека, которому "покорилась" знаменитая теорема.

Доказательство теоремы Ферма занимает 130 страниц и вытекает из другой теоремы, не так давно доказанной. Так что Ферма явно приврал.)

Золотое сечение. Математический язык красоты. Корбалан Фернандо

Рассказ о числах вообще и об одном замечательном числе в частности.

Некоторые из чисел удостаивались собственных имен,  например, число пи или число е. Или число -  1,6180339887... с очень красивым именем  -  золотое сечение.  Обозначается греческой буквой Ф (фи).

Почему нам что-то кажется идеальным и красивым, а что-то отталкивает? Все дело оказывается в ... пропорции. То есть в отношении. Например: возьмите банковскую карточку и поделите длину на ширину. Вот то то же.)

Написано интересно и доступно.

Когда прямые искривляются. Неевклидовы геометрии. Гомес Жуан  - очерк, давший название всему сборнику.

В школе очень любила геометрию. Что больше всего поражало: стройность и логичность. Взяли за основу интуитивно верные понятия и пять утверждений, и на основании этого выстроили целую практическую науку. А какие красивые доказательства теорем, больше всего мне нравилось доказательство от противного.

Ещё Евклид в своем знаменитом труде "Начала" сформулировал пять постулатов (то есть то, что мы принимаем без доказательств) геометрии.

I. От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию.

II. Любой отрезок можно непрерывно продолжать по прямой линии.

III. Имея любой отрезок, можно описать круг с радиусом, равным длине этого отрезка, и с центром в одном из концов этого отрезка.

IV. Все прямые углы равны между собой.

V. Если две прямые пересекаются третьей, так что с одной стороны сумма внутренних углов меньше двух прямых углов, то эти две прямые неизбежно пересекаются друг с другом по эту сторону, будучи продленными достаточно далеко.

Если, как говориться к первым четырем "претензий нет", то пятый постулат вызывал сомнения. Уж больно он отличается от предыдущих тривиальных "требований". Настолько, что даже в школьной программе его заменяют формулировкой Прокла, согласно которой "через точку, не лежащую на данной прямой можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной".

Несколько веков математические умы пытались либо доказать пятый постулат, либо опровергнуть, но безрезультатно. Смущал этот постулат и Лобачевского. В своей битве с пятым постулатом он обратился к доказательству от противного.

Он заменил пятый постулат на его зеркальное отражение ("Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее") и начал доказывать, чтобы приди к противоречию и сделать вывод, что предположение ложное. Но такого не случилось — противоречий не нашлось.

Поэтому Лобачевский взял первые четыре постулата Евклида, добавил к ним новый пятый и на этом стал строить новую непротиворечивую геометрию, описывающую реальный мир, как он надеялся, точней и глубже, чем геометрия евклидова.

В 1868 году Римана в своем докладе предположит, что через каждую точку в пространстве невозможно провести ни одной параллельной прямой, и в результате получилась эллиптическая геометрия.)

https://u.livelib.ru/reader/evfenen/r/gt30lduv/o-r.jpg">

А еще чуть позже,  новая геометрия  встретится с физикой. Эйнштейн сформулирует свою общую теорию относительности и мысли людей, привыкшие ходить по одним и тем же параллельным рельсам, откроют новые маршруты.

Жуан Гомес - Математики, шпионы и хакеры. Кодирование и криптография

Желание написать сообщение, которое может быть понято только отправителем и получателем, но остается бессмысленным для любого постороннего человека, так же старо, как и само искусство письма.

Шифровщики и дешифровщики. Их соперничество старо как мир.  В XXI веке ремесло шифрования достигло даже! квантовой механики. И хотя объектом кодирования обычно является текст, инструментом работы кодировщиков  остается математика.

Этот очерк — попытка рассказать читателю историю шифрования через призму развития математической мысли.

Расшифровка с использованием частотного анализа использовалась и в литератрных произведениях, например, в рассказе Артура Конан Дойла "Пляшущие человечки".

Простые числа. Долгая дорога к бесконечности. Грасиан Энрике

Что такое простые числа думаю знают все. На всякий случай: простым называется число, которое делится на единицу и на себя само. Поиском "волшебной формулы", которая позволяет определить

какое простое число будет следовать за определенным натуральным числом

занимались многие великие математики. Однако никому так и не удалось открыть это правило.

Собственно про поиски  "волшебной формулы" здесь и рассказывается. А также вообще про числа, в том числе и мнимые, и теории с ними (числами) связанные.

Бог создал первые десять чисел, остальное — дело рук человека

Секреты числа Пи. Почему неразрешима задача о квадратуре круга. Наварро Хоакин

Очерк ещё об одном известном числе - числе Пи. Оно интересовало людей с глубокой древности. Легенда гласит, что именно это число пытался вычислить Архимед, когда был убит римским солдатом.

Факты о числе Пи, история числа, применение. Числу Пи воздвигли памятник и не один. Каждый год 14 марта в 1:59:26 отмечается  "День числа Пи".

Существует множество стихотворений, способствующих запоминанию числа Пи.

Чтобы нам не ошибиться,
Надо правильно прочесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать.
Девяносто два и шесть.



Двадцать две совы скучали
На больших сухих суках.
Двадцать две совы мечтали
О семи больших мышах.



Нужно только постараться
И запомнить все как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.

Написано занимательно, но предупреждаю сразу - формул много.

Секта чисел. Теорема Пифагора. Альсина Клауди

Пифагор использовал основополагающий элемент философии - логику.  Он применил ее к математике настолько естественным образом, что теперь кажется, будто философия заимствовала логику у математики.

Когда речь заходит о Пифагоре, вспоминается таблица умножения, украшаювшая заднюю обложку школьной тетрадки в клетку (ксатати, к Пифагору она отношения не имеет) и  геометрическая теорема,  заключающаяся в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.Хотя, наверное, последную помнят далеко не все.)

Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это npocтoтa – кpacoта – значимость.

Однако Пифагор известен не только или даже не столько этим, сколько тем, что изобрел свою собственную — всецело числовую и цифровую — Вселенную.

Считается, что открытие иррациональных чисел, вытекавших из теоремы Пифагора, эту Вселенную и погубило.)

Четвертое измерение. Является ли наш мир тенью другой Вселенной?. Ибаньес Рауль

Английский математик Джон Валлис (1616–1703) в своей работе "Алгебра" назвал четвертое измерение "чудовищем, возможным в природе не более, нежели химера или кентавр. Длина, ширина и толщина полностью заполняют пространство. Даже фантазия не может описать, как четвертое измерение может существовать наряду с этими тремя".

Мы живем в трехмерном пространстве. Это значит, что положение любого тела  определяется с помощью трех координат. Эйнштейн, правда, добавил четвертую координату - время.

Существует такой анекдот.

Журналист задал  Артуру Эддингтону (английскому астрофизику) вопрос: "Правда ли, что в мире существует всего трое людей, которые понимают теорию относительности Эйнштейна?"

Эддингтон, после некоторого молчания: "Эйнштейн первый. Я второй. Кто третий?" 

Сейчас физики работают над теорией струн, в которая утверждается, что наша Вселенная может существовать в пространстве более высоких размерностей: 10,11 или даже 26. Но наша способность не позволяет воспринимать эти размерности. Но это не значит, что их нет.)

Резюмируя всё выше написанное, могу сделать вывод. Если вы не страшитесь математических обозначений, формул и выкладок - читаете. Пригодиться ли вам эти знания? Конечно большой вопрос (вспомните мем). Зато много узнаете из истории развития математики и познакомитесь с удивительными людьми "повернутыми" на этой науке.

Может быть ВЫ поймете, почему Григорий Перельман отказался от премии в 1 млн долларов.)

Так себе книжка. Собственно о геометриях Лобачевского и Римана автор рассказал так, словно за ним гнался опасный хищник. Затем он галопом проскакал по растровой и векторной геометриям, упомянул построение изображений для GPS, МРТ, САПР и ещё для чего-то... Ну да, это всё неевклидовы геометрии, но без именно геометрических подробностей всё это просто не интересно. В довершение всего рассказал пару слов о теории относительности, но о геометрии Минковского упомянул лишь вскользь. В общем, халтура.

Самое же удивительное вот что. Я давно забыл всё, чему меня учили в курсах аналитической и дифференциальной геометрии и ещё в каких-то. Эти теории -- из базовых, поэтому часто попадались. Надеялся вспомнить былое. Так вот, не вспомнил. Нельзя всё-таки настолько всё упрощать. Наверное, тем, кто впервые слышит о геометрии, это будет в самый раз. Сомневаюсь, правда, что такие читатели заинтересуются этой книгой...

Вроде бы и картинки хорошие, и о людях, которых надо помнить, написано. Вроде всё есть. Нет только результата в моих мозгах. Видимо, старею :(

В целом впечатление моё хорошо иллюстрируют две цитаты:

Молю тебя, не делай попыток одолеть теорию параллельных линий. Ты затратишь на это все свое время, а теоремы останутся недоказанными. В этом беспросветном мраке могут утонуть тысячи таких гигантов, как Ньютон. Этот вопрос никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий не достигнет ничего совершенного, даже в геометрии. Это большая и вечная рана в моей душе. (Фаркаш Бойяи -- сыну Яношу)

Тонкий шрам на любимой попе -- вечная рана в моей душе. (какая-то смешная песня)

То ли я переоценила свой интерес к теме, то ли автор не умеет заинтересовать. В любом случае, я не очень поняла, что это было.

Геометрическая лирика шла хорошо. Интересно было читать о том, как люди начали сомневаться в том, что геометрия Евклида – единственно верная, и начали разрабатывать другие геометрии. Интересны кратенькие биографии некоторых математиков. Любопытно в целом посмотреть, а какие они, собственно, неевклидовы геометрии, что в них необычного и где они применяются. Но какого-то четкого понимания не возникло.

Самая большая моя претензия к сборнику – он очень несбалансированный. Автор то объясняет что-то на пальцах (и то не всегда понятно, но ок, я все-таки математику только в школе изучала), то сыпет трехэтажными формулами вообще без всяких пояснений. Я рассчитывала, что будет показано, как эти геометрии используются в обычной (ну или научной) жизни, но этого минимум. Либо какие-то пиксели/воксели/компьютерная графика, где толком не объяснено, а при чем тут вообще геометрия.

Добило меня то, что я нашла опечатку (читала электронную версию, проверить бумажную нет возможности).

Книга точно не для мимокрокодилов, которые слабо разбираются в теме и захотели вдруг расширить кругозор. Потому что сложилось впечатление, что автор и не пытается как-то доступно и интересно изложить материал. А основные понятия и формулы можно и в википедии посмотреть.